數學教學能力初級中學重點

1. 請問教師資格證統考數學學科知識與能力初級中學和高級中學考試內容有什麼區別呢

初中和高中大來不一樣。初中的學科自知識與教學能力是針對初中數學教學的，高中是針對高中學科的。

2. 教師資格證統考數學學科知識與能力初級中學和高級中學考試內容有什麼區別

初中和高中大不一樣。初中的學科知識與教學能力是針對初中數學教學的，高中是針對高中學科的。

3. 初中數學學科基礎重點

為形式化公理方法。
公理體系的合理性和公理化方法提出三個基本的要求： (1)協調性要求。 (2)獨立性要求。（3）完備性要求。 （二）幾何的統一化 F· 克萊因是近代數學史中非常有名的數學家，他的重要貢獻之一，就是透過數學結構的方法為眾多幾何學分支找到一種內在的結構規律。 表面互不相乾的幾何學被 F·克萊因用變換群聯繫到一起，同時變換群的任何一個分類也對應幾何學的一種分類。 F· 克萊因用群的結構與理論統一幾何學的方法，是抽象結構方法的重要成就，是數學第二次抽象威力的具體體現。。 模型模式的抽象
粗略地說，數學模型是針對或參照某種事物系統的特徵或數量關系，採用形式化數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學建構。所謂數學建構，是指使用數學概念、數學符號、數學語言等表述出來的被研究對象的純關系結構。「純」是指已揚棄了一切與關系無本質聯系的屬性，只保留與研究目的有關的本質特徵。 具體地說，數學模型有廣義的解釋和狹義的解釋。
（一）廣義解釋 數學模型是從現實世界中抽象出來的，是客觀事物的某些屬性的一種近似反映。（二）狹義解釋 數學模型是將具體屬性抽象出來構成一種特定的數學關系結構，只有那些反映特定問題或特定事物系統的數學結構才叫數學模型。 數學模型的抽象過程
具體的抽象過程我們可以總結為如下幾個關鍵步驟：
首先，分析問題的各種關系，全面地掌握了問題中各種因素之間的聯系。其次，確定了各關系之間的本質屬性。 第三，建立一筆畫的數學模型，第四，把數學模型返回到實際問題之中。檢驗正確，那麼這個抽象的數學模型就可以廣泛地加以應用。 中小學數學常見數學模型的抽象 (一)經濟數學模型的抽象
在人類的生產生活中，有許多實際問題可以用初等數學來解決，對這些具體問題的抽象處理就形成了許多有關這些方面的數學模型。這些問題主要表現在工程進度、人口增長、收入變等方面。這些問題運用的數學工具大多是代數方程、指數函數以及其它相關的函數概念。這一類的數學模型在現實生活中隨處可見，中小學的數學教學應以這些為例深入淺出地抽象、構造及運用這些模型。 （二）運動數學模型的抽象
一些事物在運動中表現出速度、加速度、時間、距離之間的關系，這類問題構成了帶有運動特徵的數學模型。
（三）邏輯程序數學模型的抽象
邏輯推理形式一直是數學運用的最基本的思想方法，從數學模型的抽象角度把它看作是一種數學方法和結構模型還是近代才引起人們重視的。對於初等數學教育而言，我們以前的數學教育只是在學習幾何知識時才開始強化邏輯推理方面的教育，這種數學教育也由於對定義、定理的推導而忽視對邏輯程序自身的注意。近年來，由於計算機的迅速普及使得邏輯程序方面（或演算法）的教育就顯得越來越重要。 結合初中教學實際談一談你 對數學抽象的理解。
數學抽象的教學應當直接指向學生在與數學相關問題上的一般思維水平方面的發展。事實上，義務教育階段的數學教育是一種公民教育，它給學生帶去的絕不僅僅是會解更多
的數學題了。這些學生的未來會遇到不同的挑戰——一些人需要學習或研究更多的數學，對他們而言，是否能夠「思考數學」非常重要；另一些人（他們是受教育的學生中的絕大多數）就業以後基本上不需要解純粹的數學題（除了參加數學考試），對他們而言，「思考數學」是一種需要，但更多的或許是能夠進行「數學的思考」，即在面臨各種問題情境（特別是非數學問題）時，能夠從數學的角度去思考問題、能夠發現其中所存在的數學現象、並將之抽象為數學問題，運用數學的知識與方法去解決問題。對所有的未來公民來說，抽象思維和形象思維水平，歸納推理與演繹推理能力等都是不可缺少的。 這個教學目標的實現也不能僅僅通過研究「純粹抽象」的數學現象來進行，而應當在研究多種現象與問題（數學的、非數學的）的過程中逐步完成。具體說來，就是讓學生經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展數學抽象思維。
教學的主要目的在於使學生能夠用數學的語言去刻畫現實世界，去發現隱藏在具體事物背後的一般性規律。相對於不同學段的學生而言著重點不一樣：
對第一學段的學生來說，能夠用數和簡單的圖表刻畫一些現實生活中的簡單現象，就是目標；對第二學段的學生而言，應當包括既能夠用數和簡單的圖表刻畫一些現實生活中的現象，還應當包含對某些數字信息做出合理的解釋；對於第三學段的學生來說，除去在較復雜的層面上能夠完成前面的任務，重點應當是能夠用各種數學關系（方程、不等式、函數等）去刻畫具體問題，建立合適的數學模型。 第七章 數學推理
思維模式下對推理的理解 哲學對推理的理解為：推理是從一個或幾個判斷推出一個新的判斷的思維形式。常見的推理有歸納推理，演繹推理和類比推理。
推理模式下對推理的理解 對於數學而言，本質上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。
基本推理是指由一個命題或者幾個命題出發，得到另一個命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。
推理的基礎 一個數學論證過程是由一系列基本推理構成的，討論基本推理是分析數學論證過程的基礎。基本推理中所涉及的基本概念包括語言、命題和定義，其中，語言是推理的工具，命題是推理的對象，定義是命題的基礎。
推理的工具：語言 語句是指：表達一個完整思想的語言單位。如果不涉及論證過程，數學上的語句通常以命題的形式出現。
推理的對象：命題 命題是指：或者可以通過分析，或者可以通過經驗證實的語句，也就是說，命題是一種可以進行是非判斷的語句。 數學命題的核心是敘述研究對象之間的關系，即把關系概念應用於對象概念。數學推理過程中的命題必須簡捷准確，不能引發歧義。
命題的基礎：定義 准確的定義對於命題的判斷是非常重要的，在這個意義上，定義是命題的基礎。
數學定義大概分為兩種：一種是名義定義，一種是實質定義。所謂名義定義是對某些事物標明符號，或者是對某類事物指明稱謂。所謂實質定義是指揭示所研究問題對象內涵的邏輯方法，通過對許多所要研究問題的對象進行具體分析，歸納出共性、抽象出定義。 定義與命題之間的關系：定義的功能是為了明確討論問題的對象，命題的功能是為了表

述所討論問題的實質，論證的功能是分析條件和結果之間的關系。 數學推理過程中需要把握三個基本原則，即同一律、矛盾律和排中律。 演繹推理的一般含義
我們初步定義數學中的演繹推理為：按照某些規定了的法則所進行的、前提與結論之間有必然聯系的推理 。又因為數學的結論大體上可以分為命題結論和運算結論，那麼針對數學的演繹推理而言，大體就可以分成兩個部分：命題推理和運算推理。
一演繹推理在數學中有多種形式(如聯合推理、選言推理、假言推理等)，但數學中最常用的是直言三段論式的演繹推理。數學中常稱之為「三段論」式的演繹推理。 直言三段論——具有傳遞關系的推理
三段論是一個包括大前提、小前提和結論三個部分的論證形式，這是一個基本推理的模式。 其基本模式為：
大前提：一切 M 都是(或不是 )P ， 小前提： S是M，
結 論： S 是(或不是) P 。
數學的推理與證明過程，就是一連串的三段論式推理的有序組合。
直言三段論的本質是命題的可傳遞性，或者說，命題所對應的集合之間可以形成包含關系。
這樣就可以得到結論：對於數學的推理而言，全稱肯定、全稱否定、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的，也是經常被使用的。
用集合的語言對直言三段論表述如下：直言三段論表述的是集合之間的包含關系，這種關系具有傳遞性。其中關於「包含關系具有傳遞性」這個命題，應當是人們在長期的日常生活和生產實踐中總結出來的公理，人們從遠古的時候就會知道：一個人屬於家庭，家庭屬於族群，那麼，這個人屬於族群。這個命題的正確性是不需要證明的，並且，「具有傳遞性」這個命題應當作為人們可能進行邏輯推理的基礎。
歸納推理是由已知為真的命題做前提，引出可能真實命題做結論的推理。
歸納推理的前提與結論之間具有必要條件關系。首先，歸納推理的前提必須是真實的、可靠的，否則，歸納也就失去了意義。前提的真實性對於歸納推理來說是必要的。人們根據考察對象涉及的是某類事物的一部分還是全體，又把具有遞推關系的歸納推理分為不完全歸納推理和完全歸納推理。
（一）不完全歸納推理 不完全歸納推理是根據某類事物的部分對象具有的(或不具有)某種屬性，推出該事物的全體具有(或不具有)這種屬性的思維方式。 （二）完全歸納推理
完全歸納推理是從某類事物每個對象都具有(或不具有)某種屬性，推出這類事物的全體具有(或不具有)某種屬性的思維方法。由於這類方法考察了某類事物的全部對象，所以得出的結論必定是正確。 1．窮舉法 窮舉法是數學中常用的一種完全歸納法。它是對具有有限個對象的某類事物進行研究時，把所有的對象的屬性分別討論，從肯定它們都具有某一屬性得到這類事物都具有這一屬性 (全稱判斷)的歸納推理。 一個比窮舉法更一般的方法被稱為簡單枚舉法 。 2．類分法 在考察中需要先對研究的對象按前提中可能存在的情況進行分類，再按類分別證明。 合情推理
結合中學數學教學實際，談談 合情推理在數學上的意義
數學是一個邏輯推理構成的體系，在思維進程的意義上它是從一般到特殊的推理論證。對前提的確認，通過邏輯推理帶來對結論的確認，每一步推理都是可靠的、無可置疑的，因而這種邏輯推理確認了邏輯上可靠的數學知識，同時也建立了嚴格的數學體系。實際上，這種數學的邏輯構造只是數學建構後的表現形式，而在形成這種演繹形式之前，數學的理論必有一個探索發現的過程。這個探索發現的過程作為一種思維方式，作為一種數學發現的方法，是非邏輯演繹的，是一種合乎情理的、似真的推理過程，即合情推理。 作為數學中的創造性思維，它面臨的是一個前人沒有論證過的問題。因此按照合乎情理的方向，按照自己認為可能是正確的方向去進行推理，探索可能得到的結論，探索可能運用的方法，是合情推理發揮作用的地方。對於一個想把數學作為終身事業的學生而言，它必須學會邏輯論證推理。因為這是他未來的工作，也是數學科學思維發展中的一個特徵。數學家為了取得成就，也必須學會合情推理，因為這是他創造性工作賴以進行的那種推理。
作為數學的學習，如果我們要求學生運用自己掌握的數學知識去解決問題，那麼作為學生的個體經驗，他必然有一個自我形式的合情推理過程，即按照自己認為可能合乎情理、可能正確的方向來試一下，嘗試一下自己的方法、想法是否正確。從這種意義上來說，對於數學學習者，對於數學的解題過程而言，合情推理就是一個必須學會運用的思維方式。
合情推理實際上強調了一種思維的主動性、情感性和試錯性。所謂主動性是說，合情推理不受數學自身嚴格演繹推理的束縛，可以向自己認為合乎情理的方向主動思考，盡管這種思考可能與數學本身的要求有差距。所謂情感性是說，合情推理可以按照自己認為似真的方向進行探索。這實際上只是一種探索性的思考，盡管這種思考可能與數學的真正演繹證明有一些差異。所謂試錯性是說，合情推理是一個學習、論證的試錯過程，正是通過不斷的主觀積極的試錯才使問題得到最終的解決。 數學中合情推理的方式是各式各樣的，在這些合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理兩種。
類比推理是指根據兩個不同對象的某些方面相同或相似，推導出或猜出它們在其它方面可能具有相同或相似的思維形式。它是思維進程中由特殊到特殊的推理方式。 波利亞在論及類比合情推理的作用時，認為它可以在三個方面發揮作用：(1)可以提出新問題和獲得新發現；(2)可以在求解問題中得到應用；(3)可以用來對猜測進行檢驗。應當指出的是，類比推理只是一種合情推理，它不能提供嚴格准確的數學邏輯證明。它獲得的結論的正確與否，還必須經過嚴格的證明。因此類比推理是一種創造性、啟發性較強而可靠性較弱的方法。 合情推理中的歸納
合情推理中所說的歸納是歸納推理思維方式中的不完全歸納推理，又稱之為經驗歸納法或稱之為實驗歸納法。這是一種從個別到一般，從經驗事實或實驗事實到理論的一種尋找真理和發現真理的方法。
1．用經驗歸納法發現問題的結論 對於數學問題而言，運用經驗歸納法可以由一個特殊的事實來猜測可能存在的結論。
2．用經驗歸納發現解決數學問題的路徑 在經驗歸納的合情推理中，可以由一個特殊處理問題的數學公式、數學方法或解題思路中歸納推導出對一般問題的處理公式、方法或思路。
合情推理中，類比推理與歸納推理差異是明顯的。歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種縱向思維；類比推理則是藉助兩個系統某些部分的相似性或一致性進行的橫向思

維。在實際問題中，兩種推理形式互相促進，成為合情推理中相互配合、相互利用的重要的數學發現的方法。而作為合情推理，作出創造性思維有時需要不同思維方式的相互配合。
數學猜想——介於歸納與演繹之間
數學猜想，是指人們根據已知的某些數學知識和某些事實，對數學的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷。 1．由歸納提出數學猜想
由某類數學對象中的個別對象具有的屬性，進而猜想該類對象全體都具有這種屬性，這是不完全歸納的基本思維方法。利用不完全歸納的思維方法提出數學猜想是構成創造性思維的一個重要方面。 2．由類比產生的數學猜想
類比是產生數學猜想的一個重要思維方法，許多數學家通過類比獲得了一種靈感、一種直覺，進而提出數學猜想。
但是，我們要清楚的知道，一個數學猜想的證明歷程並不是容易的事情。 演繹推理與歸納推理的關系 演繹推理的定義：按照某些規定了的法則所進行的、前提與結論之間有必然聯系的推理。 歸納推理的定義： 按照某些法則所進行的、前提與結論之間有或然聯系的推理。比較可以看到，歸納推理比演繹推理要靈活得多，這是因為：在推理過程中，「法則」是必要的，但不需要事先規定；前提與結果之間的「聯系」是必要的，但這種聯系是或然的而不是必然的 。正因為歸納推理具有這種靈活性，才可能從事物（事情和實物）的現實出發，對事物的過去或者未來進行推斷。雖然通過推斷得到的結論不一定是必然的，但卻是實用的，因為在日常生活和生產實踐中，人們對事情決策所遵循的原則並不要求必然成立，只是希望在大多數情況下成立。 對於數學而言，如果說演繹推理是為了證明的推理，那麼歸納推理就是為了推斷的推理，把這兩種推理模式結合起來，就得到了 數學的推理的全部過程：從條件出發，藉助歸納推理「推斷」數學結果的可能性，藉助演繹推理「驗證」數學結果的必然性；或者進行一個相反的推理過程：從結果出發，藉助歸納推理「推斷」數學條件的可能性，藉助演繹推理「驗證」數學條件的必要性。 談談你 對數學推理教學的理解。
長期以來數學教學注重採用「形式化」的方式，發展學生的演繹推理能力，忽視了合情（歸納）推理能力的培養。數學不僅需要演繹推理，同樣、甚至有時更需要合情（歸納）推理。科學結論的發現往往發端於對事物的觀察、比較、歸納、類比……，即通過合情（歸納）推理提出猜想，然後再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤。演繹推理和合情（歸納）推理是既不相同又相輔相成的兩種推理。
《標准》對推理能力的主要表現作了如下的闡述：「能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，並進一步尋求證據、給出證明或舉出反例」。這就是說，學生獲得數學結論應當經歷 合情（歸納） 推理——演繹推理的過程。 合情（歸納） 推理的實質是「發現」，因而關注歸納推理能力的培養有助於發展學生的創新精神。當然，由 合情（歸納） 推理得到的猜想常常需要證實，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例，《標准》中對一些公式、法則、定理的證明，也規定了相應的論證的要求。推理能力的培養，必須充分考慮學生的身心特點和認知水平，注意層次性。即使如此，《標准》在「學段目標」的「數學思考」部分的表述中，三個學段仍然有著一定的層次。
培養學生的演繹推理能力不僅要注意層次性，而且要關注學生的差異。要使每一個學生都能體會證明的必要性，從而使學習演繹推理成為學生的自覺要求，克服「為了證明而證明」的盲目性；又要注意推理論證「量」的控制，以及要求的有序、適度。 第八章 數學活動經驗 基本活動經驗是近年來在《全日制義務教育數學課程標准》的修訂過程中提出的新觀點、新概念，目前已經變成支撐我國初中數學課程的「四基」之一，即基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想。
「經驗」的基本含義 在通常意義下，所謂經驗，就是按照事實原樣而感知到的內容。《全日制義務教育數學課程標准》（修訂稿）指出，「義務教育數學課程的目標在於，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。」這里的基本活動經驗，實際上是指「學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗」。
基本活動經驗的含義
是指，圍繞特定的數學課程教學目標，學生經歷了與數學課程教學內容密切相關的數學活動之後，所留下的、有關數學活動的直接感受、體驗和個人感悟。
基本活動經驗是經驗的一種，由於經驗的層次、水平所限，個體之間的數學活動經驗有較大差異，即使在同一個活動中，不同的個體所獲得的基本活動經驗也會有所不同，這往往取決於個體對活動的感知水平與反思能力。 學生的基本活動經驗包含三類基本內容： 1 ．一種體驗性的內容
這種經驗成分更多地表現為，學生在經歷了活動之後在自己的情感、意志世界所形成的有關數學學科活動的、穩定的心理傾向。 2 ．一種方法性內容
即學生獲得了這種活動經驗之後，積累了開展類似活動的一種或幾種基本的方法。這種策略既有方法學知識的意味，更有學生對這些策略、方法的自我詮釋、自我解讀。它屬於典型的 個體知識，而不是作為嚴格的數學學科知識出現的一般知識。
3 ．一種模式性、策略性的內容這種內容與第二類類似，都是在學生獲得了這種活動的初步經驗之後，經過個人反省而提升出來的、開展類似活動的一種或幾種基本模式、基本策略。它仍屬於典型的 個體知識。
從哲學上講，在數學學科教、學中，讓學生獲得數學的基本活動經驗，本質上是讓學生獲得數學學科直觀，這是學生獲得數學發展的源泉。無論是作為普適性方法而出現的經驗，還是作為模式性、策略性內容出現的經驗，都是建立在直接的、感性的經驗基礎之上，經過個體的自我反省（反思）而形成的，它們帶有明顯的「再抽象」、再加工痕跡，都是基於個體對活動過程的再現所致。因而，數學學習必須誘發學生主動參與，積極思考，教師的使命和責任在於幫助學生建構其數學理解。 基本活動經驗與相關概念的關系
基本活動經驗與數學活動、基礎知識、基本技能和基本思想的關系
在數學學習中，基本活動經驗是對有關數學活動過程的個體反映，是個體針對相關數學活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結果。 數學課程教學不僅要教給學生知識，更要幫助學生形成智慧。知識的主要載體是書本，智慧則形成於經驗的形成和積累的過程之中，形成於經歷的數學活動之中，諸如教師為學生創造的思考的過程、探究的過程、

抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等。智慧形成於學生應用所學的各類知識，發現問題、提出數學問題並加以分析和解決問題的各種教育教學實踐活動之中。因而，數學的基本活動經驗直接來源於數學活動之中。 在經歷同一個數學活動過程之中，不同的人所獲得的基本活動經驗往往有所不同，往往存在著個體差異。這些差異，一方面來自於個體的感覺、知覺的水平差異，另一方面，這些差異與個體針對感覺、知覺到的內容的自我反省的水平和深廣度密切相關。與其同時，這些差異也與個體參與活動的參與程度有著必然的關聯。 基本活動經驗與活動過程的關系
基本活動經驗是對有關數學活動過程的個體反映，是個體針對相關數學活動過程的直接感知及其之上的自我反省的結果。 經歷、體驗、經驗的區別和聯系
基本活動經驗與經歷、體驗密切相關，而彼此又有一些區別和關聯。
人的經歷可以分兩種，即直接經歷與和間接經歷，其中，前者是主體親身見過、做過或遭遇過某事件的過程而獲得的經歷，後者是主體從他人處聽說或從其他媒介得到他人的經歷。
而體驗是一種感受經歷的過程，是通過主體親身體驗事件發生的過程，從而獲得經歷，讓主體在實踐中實現自我領域的充實，感受經歷的產生，領悟經歷產生的意義，並在反思中進行情感的升華，因而，體驗必須從直接經歷中得到。
體驗具有很強的、個體的情感色彩，停留在經歷本身的感性的層面。
經歷是為了進行體驗，而體驗不是目的，是為了獲得直接的經驗和感受，增強對知識、技能的理解，實現主體在情感、態度、價值觀上的升華和發展，同時，能夠對知識技能的理解和認識予以強化。然而，並不是所有的體驗都會抽象提升為經驗，若沒有對體驗抽象提取，也可能只是將情感升華為信念。主體在情感升華過程中，會和其對事件的原有興趣進行對比，如果情感升華與原有興趣一致，那麼，其信念將會被強化，反之，則會被弱化。也就是說，體驗其實也不是萬能的。 基本活動經驗的教育價值與基本功能 解基

4. 如何在初中數學教學中突破重點和難點

一堂課上的好不好，關鍵看教師是否正確地講解了教材的基本內容，是否突破了教材的重點及解決了教材的難點，使學生真正地理解和掌握了教材的基本知識。教師在教學中能否抓住重點、突破難點，是做好教學工作的基本條件，也是教師能力的表現。
一、什麼是教學重點和教學難點
所謂教學重點，「在教材內容的邏輯結構的特定層次中占相對重要的前提判斷」，也就是「在整個知識體系或課題體系中處於重要地位和突出作用的內容」。如果某知識點是某單元內容的核心、是後繼學習的基礎或有廣泛應用等，即可確定它是教學重點。也就是學生必須掌握的基本知識和基本技能，如意義、法則、性質、計算方法還包括數量關系、解決問題的策略等。例如，一年級100以內數的大小比較這節課的教學重點是比較兩個數大小的方法；二年級平移和旋轉的教學重點是初步感知平移和旋轉現象；三年級中的平均數教學重點是理解平均數的含義；24時計時法的教學重點是知道24時計時法的含義，會用24時計時法表示時刻；四年級連減的簡便計算教學重點是掌握連減的簡便演算法；五年級長方體的體積教學重點是運用長方體的體積公式解決實際問題；六年級用比例知識解決問題教學重點是會用比例知識解決問題。
教學難點，一般指對於大多數學生來說是理解和掌握起來感覺比較困難的關鍵性的知識點或容易出現混淆、錯誤的問題。例如，一年級實踐活動的擺一擺，想一想的難點是通過觀察找出用圓片擺出不同數的規律；二年級平移和旋轉的教學難點是會在方格紙上畫一個簡單圖形沿水平和豎直方向平移後的圖形；三年級中的年月日的教學難點是記住每個月及平年閏年的天數，初步學會判斷某一年是平年還是閏年。四年級李志蘭和 劉永霞老師講的兩節課的難點是靈活選擇計算方法解決實際問題；五年級長方體的體積教學難點是理解長方體的體積公式推導過程；六年級圖形的放大與縮小教學難點是按一定的比例將圖形放大和縮小。難點有時和重點是一致的。六年級上冊的一個數乘以分數的意義的理解，既是教學中的一個難點，同時也是教學中的一個重點。
教學重點和教學難點也具有各自的特點。
教學重點來自於知識本身，是由於數學知識內在的邏輯結構而客觀存在的，因而對每一個學生均是一致的。而教學難點卻不同，它依賴於學生自身的理解和接受能力。實踐證明不同層次的學生對於同一知識點的難點突破速度與水平是參差不齊的。
由於教學重點與難點二者形成的依據不同，所以有的教學內容既是教學重點又是教學難點，有的內容是教學重點但不一定是教學難點，有的內容是教學難點但不一定是教學重點。但是教學重點和難點都是由同一教學內容的教學目標所決定的。
二、研究教學重難點的意義何在
可以用這樣一句話概括——落實教學重點是使學生掌握知識的前提，突破難點是教學成功的關鍵。而教師在教學過程中突破重難點的方法往往是使學生活躍思維、激發興趣的催化劑。
三、如何在數學教學中突破重點和難點
這需要每一位數學教師在教學實踐中不斷地學習、總結、摸索。下面我就談一談對此問題的點滴體會和做法。
1．抓住知識間的銜接，運用遷移的方法突破重點和難點
我們先來關注數學的學科特點。小學數學學科的特點之一就是系統性很強，每項新知識往往和舊知識緊密相連，新知識就是舊知識的延伸和發展，舊知識就是新知識的基礎和生長點。有時新知識可以由舊知識遷移而來，可同時它又成為後續知識的基礎。因此，數學知識點就像一根根鏈條節節相連、環環相扣。
由此可見，如果老師能夠善於捕捉數學知識之間的銜接點，自覺地以「遷移」作為一種幫助學生學習的方法，以舊引新、舊中蘊新，組織積極的遷移，就不難實現教學重、難點的突破了。
2．抓住知識間的聯系，採用轉化的策略突破重點和難點
轉化——是指解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為「化歸與轉化的思想方法」一個新知識往往是舊知識的發展和結果，也就可以轉化為舊知識來認識和理解。在教學中，教師如能做到「化新為舊」，抓住知識間的「縱橫聯系」，幫助學生形成知識網路，逐步教給學生一些轉化的思考方法，使他們能用轉化的觀點去學習新知識、分析新問題才能使他們對知識的理解不斷深刻，最終達到融匯貫通。
例如：三角形面積、梯形面積、圓面積公式的推倒。
3．強化感知參與，運用直觀的方法突破教學重難點
直觀——是指在教學過程中充分運用實物、模型、多媒體計算機等教學用具，通過實際操作、觀察、思考的活動，幫助學生理解和掌握數學知識，促進學生的思維發展。直觀教學是小學數學教學活動中的一種最常用的也是最為有獨立自主的教學方法。
教學中突破教學重難點的方法還有很多，以上介紹的方法是針對一些知識點的教學單獨使用的情況，這些方法當然也可以聯合使用。總之，我們要做到在教學中切實提高課堂效率，就要深入研究教材和學生，努力實現「教無定法，貴在得法」。

5. 初級中學教師資格考試筆試大綱《數學學科知識與教學能力》

現將初級中學教師資格考試筆試大綱《數學學科知識與教學能力》相關內容整理如下：

一、考試目標

1.學科知識的掌握和運用。掌握大學專科數學專業基礎課程的知識、中學數學的知識。具有在初中數學教學實踐中綜合而有效地運用這些知識的能力。

2.初中數學課程知識的掌握和運用。理解初中數學課程的性質、基本理念和目標，熟悉《義務教育數學課程標准(2011年版)》(以下簡稱《課標》)規定的教學內容和要求。

3. 數學教學知識的掌握和應用。理解有關的數學教學知識，具有教學設計、教學實施和教學評價的能力。

二、考試內容模塊與要求

1.學科知識

數學學科知識包括大學專科數學專業基礎課程、高中數學課程中的必修內容和部分選修內容以及初中數學課程中的內容知識。

大學專科數學專業基礎課程知識是指：數學分析、高等代數、解析幾何、概率論與數理統計等大學專科數學課程中與中學數學密切相關的內容。

其內容要求是：准確掌握基本概念，熟練進行運算，並能夠利用這些知識去解決中學數學的問題。

高中數學課程中的必修內容和部分選修內容以及初中數學課程知識是指高中數學課程中的必修內容、選修課中的系列1、2的內容以及選修3—1(數學史選講)，選修4—1(幾何證明選講)、選修4—2(矩陣與變換)、選修4—4(坐標系與參數方程)、選修4—5(不等式選講)以及初中課程中的全部數學知識。

其內容要求是：理解中學數學中的重要概念，掌握中學數學中的重要公式、定理、法則等知識，掌握中學常見的數學思想方法，具有空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力以及綜合運用能力。

2.課程知識

了解初中數學課程的性質、基本理念和目標。

熟悉《課標》所規定的教學內容的知識體系，掌握《課標》對教學內容的要求。

能運用《課標》指導自己的數學教學實踐。

3.教學知識

掌握講授法、討論法、自學輔導法、發現法等常見的數學教學方法。

掌握概念教學、命題教學等數學教學知識的基本內容。

了解包括備課、課堂教學、作業批改與考試、數學課外活動、數學教學評價等基本環節的教學過程。

掌握合作學習、探究學習、自主學習等中學數學學習方式。

掌握數學教學評價的基本知識和方法。

4.教學技能

(1)教學設計

能夠根據學生已有的知識水平和數學學習經驗，准確把握所教內容與學生已學知識的聯系。

能夠根據《課標》的要求和學生的認知特徵確定教學目標、教學重點和難點。

能正確把握數學教學內容，揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，滲透數學思想方法，體現應用與創新意識。

能選擇適當的教學方法和手段，合理安排教學過程和教學內容，在規定的時間內完成所選教學內容的教案設計。

(2)教學實施

能創設合理的數學教學情境，激發學生的數學學習興趣，引導學生自主探索、猜想和合作交流。

能依據數學學科特點和學生的認知特徵，恰當地運用教學方法和手段，有效地進行數學課堂教學。

能結合具體數學教學情境，正確處理數學教學中的各種問題。

(3)教學評價

能採用不同的方式和方法，對學生知識技能、數學思考、問題解決和情感態度等方面進行恰當地評價。

能對教師數學教學過程進行評價。

能夠通過教學評價改進教學和促進學生的發展。

三 、 試卷結構

6. 初級中學數學學科知識與教學能力考什麼

看你對中學教材知識掌握的程度，看你對學生學情得分析能力等。

7. 初中數學重點題型有哪些

復習核心
注重課本知識，查漏補缺
注重課堂學習，提高效率
注意知識的遷移，學會融會貫通
試卷的基本情況
1.試卷結構：由填空、選擇、解答題等28個題目組成。
2.考試內容：根據《數學課程標准》要求，將對「數與代數」「空間與圖形」 「統計與概率」「實踐與綜合應用」四個領域的知識進行考查。按知識版塊進行系統歸納代數具體為：(1)實數的概念及其運算；(2)代數式的分類、概念及其運算；(3)方程(組)的概念、性質、解法及應用：(4)不等式(組)的概念、性質、解法：(5)函數的概念，幾種常見函數的圖象及性質；(6)統計和概率。幾何知識歸納為：(1)圖形的初步認識；(2)三角形的概念、分類、定理及其應用；(3)四邊形的概念、定理及其應用；(4)圖形與變換；(5)相似形的概念、定理及其應用；(6)解直角三角形；(7)圓的概念、定理及其應用；
3.試題模式：以2008年西寧市數學第一次模擬考試試卷為基本樣式。
4.難度的比例分配：試卷滿分為120分，簡單題型佔60%，中等題型佔30%，難度題佔10%。
中考要求
中考要面向全體考生，以數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用內容為依據，關注學生對數學的基本認識，關注學生的數學活動過程、關注學生的數學思考、關注學生解決問題的能力、關注學生對數學與現實生活以及與其他學科知識之間聯系的認識等。充分體現新課標理念，力求客觀、公正、全面、准確地評價學生數學學習狀況。
命題規律
1.重視數學基礎知識的認識和基本技能、基本思想的考查。
2.重視數學思想和方法的考查。
3.重視實踐能力和創新意識的考查。
復習的基本原則
以《課程標准》和數學教材為依據，立足於掌握和鞏固基本知識和基本技能，強化主幹知識，注重教材的重點和難點，加強對薄弱環節的復習，及時查缺補漏，注重知識應用能力，培養靈活及綜合解決問題的能力。
復習中的幾點建議
1.注重課本知識，查漏補缺。全面復習基礎知識，加強基本技能訓練的第一階段的復習工作我們已經結束了，在第二階段的復習中，反思和總結上一輪復習中的遺漏和缺憾，會發現有些知識還沒掌握好，解題時還沒有思路，因此要做到邊復習邊將知識進一步歸類，加深記憶；還要進一步理解概念的內涵和外延，牢固掌握法則、公式、定理的推導或證明，進一步加強解題的思路和方法；同時還要查找一些類似的題型進行強化訓練，要及時有目的有針對性的補缺補漏，直到自己真正理解會做為止，決不要輕易地放棄。
這個階段尤其要以課本為主進行復習，因為課本的例題和習題是教材的重要組成部分，是數學知識的主要載體。吃透課本上的例題、習題，才能有利於全面、系統地掌握數學基礎知識，熟練數學基本方法，以不變應萬變。所以在復習時，我們要學會多方位、多角度審視這些例題習題，從中進一步清晰地掌握基礎知識，重溫思維過程，鞏固各類解法，感悟數學思想方法。復習形式是多樣的，尤其要提高復習效率。
另外，現在中考命題仍然以基礎題為主，有些基礎題是課本上的原題或改造了的題，有的大題雖是「高於教材」，但原型一般還是教材中的例題或習題，是課本中題目的引申、變形或組合，課本中的例題、練習和作業題不僅要理解，而且一定還要會做。同時，對課本上的《閱讀材料》《課題研究》《做一做》《想一想》等內容，我們也一定要引起重視。
2.注重課堂學習，提高效率。在任課老師的指導下，通過課堂教學，要求同學們掌握各知識點之間的內在聯系，理清知識結構，形成整體的認識，通過對基礎知識的系統歸納，解題方法的歸類，在形成知識結構的基礎上加深記憶，至少應達到使自己准確掌握每個概念的含義，把平時學習中的模糊概念搞清楚，使知識掌握的更扎實的目的，要達到使自己明確每一個知識點在整個初中數學中的地位、聯系和應用的目的。上課要會聽課，會記錄，必須要把握每一節課所講的知識重點，抓住關鍵，解決疑難，提高學習效率，根據個人的具體情況，課堂上及時查漏補缺。
3.夯實基礎知識，學會思考。在歷年的數學中考試題中，基礎分值占的最多，再加上部分中檔題及較難題中的基礎分值，因此所佔分值的比例就更大。我們必須扎扎實實地夯實基礎，通過系統的復習，我們對初中數學知識達到「理解」和「掌握」的要求，在應用基礎知識時能做到熟練、正確和迅速。
有的考題會對需要考查的知識和方法創設一個新的問題情境，特別是一些需要有較高區分度的試題更是如此；每個中檔以上難度的數學試題通常要涉及多個知識點、多種數學思想方法，或者在知識交匯點上巧妙設計試題。因此，我們每一個同學要學會思考，老師上課教給我們的是思考問題的角度、方法和策略，我們要用學到的方法和策略，在解決具有新情境問題的過程中，感悟出如何進行正確的思考。
4.注意知識的遷移，學會融會貫通。課本中的某些例題、習題，並不是孤立的，而是前後聯系、密切相關的，其他學科的知識也和數學有著千絲萬縷的聯系，我們要學會從思維發展的最近點出發，去發現、研究和展示這些知識的內在聯系，這樣做不僅有助於自己深刻理解課本知識，有利於強化知識重點，更重要的是能有效地促進自己數學知識網路和方法體系的構建，使知識和能力產生良性遷移，達到觸類旁通的效果，通過探究課本典型例題、習題的內在聯系，讓我們在深刻理解課本知識的同時，更有效地形成知識網路與方法體系。例如一元二次方程的根的判別式，不但可以解決根的判定和已知根的情況求字母系數，還可以解決二次三項式的因式分解、方程組的根的判定及二次函數圖象與橫軸的交點坐標。
5.復習形成梯度，選擇典型習題。如果說第一階段是中考復習的基礎，是重點，側重了雙基訓練，那麼第二階段的復習就是第一階段復習的延伸和提高，這個階段的練習題要選擇有一些難度的題，但又不是越難越好，難題做的越多越好，做題要有典型性，代表性，所選擇的難題是自己能夠逐步完成的，這樣才能既激發自己解難求進的學習慾望，又能使自己從解決較難問題中看到自己的力量，增強學習的信心，產生更強的求知慾望。
6.重視基礎知識，注重解題方法。基礎知識就是初中數學課程中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求同學們掌握各知識點之間的內在聯系，理清知識結構，形成整體的認識，並能綜合運用。每年的中考數學會出現一兩道難度較大，綜合性較強的數學問題，解決這類問題所用到的知識都是同學們學過的基礎知識，並不依賴於那些特別的，沒有普遍性的解題技巧。
中考數學命題除了著重考查基礎知識外，還十分重視對數學方法的考查，如配方法，待定系數法、判別式法等操作性較強的數學方法。在復習時應對每一種方法的內涵，它所適應的題型，包括解題步驟都應該熟練掌握。
7.形成數學思想，學會運用。數學思想的進一步形成和繼續培養是十分重要的，因為它的應用是十分廣泛的。比如方程思想、特殊和一般的思想、數形結合的思想，函數思想、分類討論思想、化歸與轉化的思想等，我們要加深對這些思想的深刻理解，目前要多做一些相關內容的題目；從近幾年中考情況看，最後的「壓軸題」往往與此類題型有關，不少同學解這類問題時，要麼只注意到代數知識，要麼只注意到幾何知識，不會熟練地進行代數知識與幾何知識的相互轉換。
8.綜合運用，培養能力。通過對課本典型例題、習題的有機演變和拓展延伸，讓自己在參與探究中提高應變能力和創新能力。以課本典型例題、習題為題源進行一題多解、一題多變的訓練是落實新課程理念、強化數學創新教學的重要途徑。課本上的某些例(習)題看似平淡無奇，但如果我們以此為藍本，改變其條件或結論，運用不同的知識和手段，編擬出形式新穎的題目，這對於提高自己的認識層次、強化探索創新和應變遷移能力，是有很大幫助的。因此，在這個階段，我們同時還要做到能把各個章節中的知識聯系起來，並能綜合運用，做到舉一反三、觸類旁通。縱觀中考數學試題中對能力的考查，除了考查運算能力、空間想像能力和邏輯思維能力以及分析和解決純數學問題的能力外，又強化了閱讀理解能力、探索創新能力和數學應用能力，以及對同學們的情感、意志、毅力、價值觀等非智力因素的考查，就必然使中考數學試題對能力的考查進入一個新的階段。
學生如何培養自己的數學能力：
(1)從變更了命題的表達形式上，培養自己思維的深刻性。加強了這方面的訓練，可以使我們養成深刻理解知識的本質，從而達到培養自己的審題能力。
(2)從尋求不同的解題途徑與思維方式上，培養自己思維的廣闊性。對問題解答的思維方式不同，產生的解題方法各異，這樣的訓練有益於打破形成的思維定勢，開拓我們的思路，優化解題方法，從而培養唯美的發散思維能力。
(3)從變換幾何圖形的位置、形狀和大小上，培養唯美思維的靈活性、敏捷性。逐步學會把課本中的例題和習題多層次變換，既加強了知識之間的聯系，又激發了自己的學習興趣，達到既鞏固知識又培養能力的目的。
(4)從改變題目的條件和結論上，培養我們思維的批判性。這樣的訓練可以克服自己靜止、孤立地看問題的習慣，促進自己對數學思想方法的再認識，培養我們研究和探索問題的能力。
9.狠抓重點，練習熱點。多年來，初中數學中的「方程」「函數」「直線型」「三角形及證明」 、「圓」等內容一直是中考的重點考查內容，「方程思想」「函數思想」貫穿中考試卷的始終，所以要重點復習好這部分內容。在全國各地的中考題中，應用題量普遍增加，而應用題也不僅限於「列方程解應用題」，除布列方程解應用題外，「應用性的函數題」「不等式應用題」「統計類的應用題」等都成為中考的熱點。同時，近幾年的應用題還十分注重分析解決實際問題能力的考查，這在各省市的中考試卷中已經常出現，而且有一定難度，因此我們要適當加強這類應用題的訓練，做到有備無患。在平時的學習中，我們許多同學怕應用題，不願意做應用題，所以，這類問題練習時，我們要積極參與到教學過程中去，要鼓勵自己去思考、去探索、去爭論，更要培養我們的實事求是的科學態度、勇於創新的精神和良好的學習習慣。「開放性題」「探索性題」「閱讀理解題」「方案設計題」「動手操作題」是這幾年的熱點題，這些問題有利於考查我們的探索能力、發散思維和創新意識，這種類型的問題大部分源於課本，有的對知識性要求不高，但題型新，背景復雜，文字表達冗長，不易梳理，所以在最後這段時間里要適當訓練一下，以便自己熟悉、適應這類題型。

8. 我想要一份初級中學教師資格證的數學學科知識與教學能力的復習資料，謝謝

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數學學科知識可以內容比較多，您可以去中公教師網上看一下教師資格 > 學科知識與能力 > 數學 >裡面有應該有您想要的資料而且很多，入口：http://www.zgjsks.com/html/jszg/xueke/shuxue/index.html
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9. 教師證全國統考里的《數學 學科知識與教學能力》分為初級中學和高級中學嗎是考試在哪裡有什麼不一樣

初好虛升中和高中大不一樣。初中的學科知識與教學能力是友老針對初中數學教學的，高中是針對高中學科的。
更詳細的區分請登錄教育部考試中心主辦的中譽笑小學教師資格考試網查詢。